Question

5．已知：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，點(diǎn)D是斜邊AB上任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DC，過點(diǎn)C作CE⊥CD，垂足為點(diǎn)C，聯(lián)結(jié)DE，使得∠EDC=∠A，聯(lián)結(jié)BE．
（1）求證：AC•BE=BC•AD；
（2）設(shè)AD=x，四邊形BDCE的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍；
（3）當(dāng)S_△BDE=$\frac{1}{4}$S_△ABC時(shí)，求tan∠BCE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定定理得到△CDE∽△CAB，由相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，即CD•CB=CA•CE，由于∠BCE=∠ACD，$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}$，即可得到△BCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到AC=4，由于△BCE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{BC}{AC}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，即S_△BCE=$\frac{9}{16}$S_△ACD，過D作DF⊥AC于F，由AD=x，得到DF=$\frac{3}{5}$x，于是得到S=S_△ABC+S_△BCE-S_△ACD=S_△ABC-$\frac{7}{16}$S_△ACD-$\frac{7}{16}$×$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{5}$x=6-$\frac{21}{40}$x（0＜x＜5）；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠A=∠CBE，BE=$\frac{3}{4}$x，推出∠DBE=90°，根據(jù)三角形的面積公式得到方程S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$（5-x）×$\frac{3}{4}$x=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$，解得x=1，或x=4，當(dāng)x=1時(shí)，DF=$\frac{3}{5}$，AF=$\frac{4}{5}$，由于求得CF=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得tan∠BCE=tan∠ACD=$\frac{3}{16}$，當(dāng)x=4時(shí)，DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{16}{5}$，于是得到CF=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠EDC=∠A，∠ACB=∠DCE，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$，
即：CD•CB=CA•CE，
∵∠BCE=∠ACD，$\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}$，
∴△BCE∽△ACD，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{BE}{AD}$，
即AC•BE=BC•AD；

（2）解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∵△BCE∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△ACD}}$=（$\frac{BC}{AC}$）²=（$\frac{3}{4}$）²=$\frac{9}{16}$，
即S_△BCE=$\frac{9}{16}$S_△ACD，
過D作DF⊥AC于F，
∵AD=x，
∴DF=$\frac{3}{5}$x，
∴S=S_△ABC+S_△BCE-S_△ACD=S_△ABC-$\frac{7}{16}$S_△ACD-$\frac{7}{16}$×$\frac{1}{2}×4×\frac{3}{5}$x=6-$\frac{21}{40}$x（0＜x＜5）；

（3）解：∵△BCE∽△ACD，
∴∠A=∠CBE，BE=$\frac{3}{4}$x，
∴∠DBE=90°，S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$（5-x）×$\frac{3}{4}$x=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{3}{2}$，
解得：x=1，或x=4，
∵∠BCE=∠ACD，
當(dāng)x=1時(shí)，DF=$\frac{3}{5}$，AF=$\frac{4}{5}$，
∴CF=4-$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴tan∠BCE=tan∠ACD=$\frac{3}{16}$，
當(dāng)x=4時(shí)，DF=$\frac{12}{5}$，AF=$\frac{16}{5}$，
∴CF=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴tan∠BCE=tan∠ACD=3，
綜上所述：tan∠BCE=$\frac{3}{16}$或3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)，三角形的面積的計(jì)算，證得△BCE∽△ACD是解題的關(guān)鍵．