Question

如圖，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸DF與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．

（1）求線段DE的長(zhǎng)；

（2）設(shè)過(guò)E的直線與拋物線相交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），試判斷當(dāng)|x₁﹣x₂|的值最小時(shí)，直線MN與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)P為x軸上的一點(diǎn)，∠DAO+∠DPO=∠α，當(dāng)tan∠α=4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

，解得.

∴x₁+x₂=b₁，x₁x₂=b₁﹣3.

∵，

∴當(dāng)b₁=2時(shí)，|x₁﹣x₂|最小值=2.

∵b₁=2時(shí)，y=（2﹣b₁）x+b₁=2，∴直線MN∥x軸．

（3）如答圖，∵D（1，4），∴tan∠DOF=4.

又∵tan∠α=4，∴∠DOF=∠α.

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO=∠α，∠DAO+∠DPO=∠α，∴∠DPO=∠ADO.

∴△ADP∽△AOD. ∴AD²=AO•AP.

∵AF=2，DF=4，

∴AD²=AF²+DF²=20. ∴OP=19.

∴P₁（19，0），P₂（﹣17，0）．