Question

如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，在BD的同側(cè)分別等邊△ABC和等邊△CDE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，BF分別交AC、CE于G、H兩點(diǎn)．
（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；
（2）求BG：GH：HF．

Answer 1

分析：（1）由△ABC和△CDE是等邊三角形，可得∠ACB=∠D=∠ABC=∠ECD=60°；又由同位角相等，兩直線(xiàn)平行，可得AC∥ED，EC∥AB；根據(jù)平行于三角形一邊的直線(xiàn)與三角形另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，可得△ABG∽△CHG，△EFH∽△CGH，△BCG∽△BDF；又由相似三角形的傳遞性，可得△ABG∽△EHF；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得

BG

BF

=

CG

DF

=

BC

BD

，

CG

EF

=

GH

HF

；又由點(diǎn)C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，即可求得BG：GH：HF=3：1：2．

解答：解：（1）∵△ABC和△CDE是等邊三角形，
∴∠ACB=∠D=∠ABC=∠ECD=60°，
∴AC∥ED，EC∥AB，
∴△ABG∽△CHG，△EFH∽△CGH，△BCG∽△BDF，
∴△ABG∽△EHF，

（2）∵△EFH∽△CGH，△BCG∽△BDF，
∴

BG

BF

=

CG

DF

=

BC

BD

，

CG

EF

=

GH

HF

，
∵點(diǎn)C是線(xiàn)段BD的中點(diǎn)，
∴

BG

BF

=

CG

DF

=

1

2

，
∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，
∴DF=EF，
∴

CG

EF

=

GH

HF

=

1

2

，
∴BG：GH：HF=3：1：2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定定理與性質(zhì)．此題圖形比較復(fù)雜，解題時(shí)要注意仔細(xì)識(shí)圖，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．