Question

2．如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）若弦AB的長(zhǎng)為10，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得出OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，證出∠OBD=30°，得出∠BOC=60°，證出△OBC是等邊三角形，即可得出結(jié)果；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，由垂徑定理得出BD=$\frac{1}{2}$AB=5，由勾股定理得出方程，解方程求出半徑，即可得出直徑．

解答 解：（1）∵弦AB垂直平分半徑OC．
∴∠BOD=90°，OD=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠OBD=30°，
∴∠BOC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠C=60°；
（2）設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB垂直平分半徑OC，AB=10，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=5，
在Rt△BOD中，OA²=OD²+BD²，
即r²=5²+（$\frac{r}{2}$）²，
解得：r=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的直徑為$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是垂徑定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解決問(wèn)題（2）的關(guān)鍵．