Question

如圖，△ABC是等邊三角形，D是AC的中點，F(xiàn)為邊AB上一動點，AF=nBF，E為直線BC上一點，且∠EDF=120°．

（1）如圖1，當n=2時，求=______；
（2）如圖2，當n=時，求證：CD=2CE；
（3）如圖3，過點D作DM⊥BC于M，當______時，C點為線段EM的中點．

Answer 1

（1）解：過D作DG∥BC交AB于G，如圖1，
∵D是AC的中點，
∴DG為△ABC的中位線，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DCE=120°，
又∵DG∥BC，
∴∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD為等邊三角形，
而∠EDF=120°，
∴∠GDF=∠CDE，
∴△GDF∽△CDE，
∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG，
而DG=AG=BG，AF=2BF，
設BF=x，AF=2x，則AB=3x，AG=x，F(xiàn)G=x-x=x，
∴CE：DC=FG：DG=FG：AG=x：x=1：3．
故答案為；

（2）證明：過D作DG∥BC交AB于G，如圖2，當n=時，
則DG為△ABC的中位線，
同（1）一樣可證得△GDF∽△CDE，
∴FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG，
而AF=BF，設BF=3x，AF=x，則AB=4x，AG=2x，GF=x，
∴CE：DC=FG：AG=x：2x，
∴CD=2CE；

（3）解：過D作DG∥AB交BC于G，如圖3，
由前面可得CE：DC=FG：AG；
∵DM⊥BC，
∴∠MDC=30°，
∴MC=DC，
而C點為線段EM的中點，
∴CE=DC，
∴FG=AG，
∴FG=BG，即F為BG的中點，F(xiàn)為AB的四等分點，
∴AF=3BF，
故答案為n=3．
分析：（1）過D作DG∥BC交AB于G，則DG為△ABC的中位線，根據(jù)等邊三角形的性質得∠ACB=∠ABC=60°，由DG∥BC，得∠FGD=120°，∠GDC=120°，△AGD為等邊三角形，而∠EDF=120°，得∠GDF=∠CDE，易證得△GDF∽△CDE，所以FG：CE=DG：DC，即CE：DC=FG：DG=FG：AG，當AF=2BF，設BF=x，AF=2x，則AB=3x，AG=x，F(xiàn)G=x-x=x，即可得到CE：DC=1：3．
（2）由（1）得CE：DC=FG：AG，當AF=BF，設BF=3x，AF=x，則AB=4x，AG=2x，GF=x，即可得到結論；
（3）DM⊥BC，則∠MDC=30°得MC=DC，當C點為線段EM的中點，則有CE=DC，由前面的結論CE：DC=FG：AG得到FG=AG，即可得到AF=3BF．
點評：本題考查了等邊三角形的性質：等邊三角形三邊相等；三個角都等于60°；也考查了相似三角形的判定與性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．