Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（﹣2，﹣4），直線x=﹣2與x軸相交于點B，連接OA，拋物線y=﹣x2從點O沿OA方向平移，與直線x=﹣2交于點P，頂點M到點A時停止移動．

（1）線段OA所在直線的函數(shù)解析式是；
（2）設(shè)平移后拋物線的頂點M的橫坐標為m，問：當m為何值時，線段PA最長？并求出此時PA的長．
（3）若平移后拋物線交y軸于點Q，是否存在點Q使得△OMQ為等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=2x
（2）

解：設(shè)M點的坐標為（m，2m），（﹣2≤m＜0），

∴平移后拋物線解析式為y=﹣（x﹣m）2+2m，

當x=﹣2時，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，

∴P點的坐標為（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），

∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1

∴當m=1時，PA的值最大，PA的最大值為1

（3）

解：存在，理由如下：

當x=0時，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，則Q（0，﹣m2+2m），

∵OQ=m2﹣2m，OM= =﹣ m，

當OM=OQ，即﹣ m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣ ）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣ ，此時Q點坐標為（0，5﹣2 ）；

當OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如圖1，則OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），

即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此時Q點坐標為（0，﹣8）；

當QM=QO，作QF⊥OM于F，如圖2，則OF=MF=﹣ m，

∵OQ∥AB，

∴∠QOF=∠BAO，

∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，

∴ = ，即 = ，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2= （舍去），

綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（0，5﹣2 ）或（0，﹣8）．

【解析】解：（1）設(shè)直線OA的解析式為y=kx，
把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，
所以直線OA的解析式為y=2x；
所以答案是y=2x；
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．