Question

13．如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點，含45°角的直角三角形的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一條直角邊與∠MBC的平分線BF交于點F．
（1）如圖①，當(dāng)E為AB的中點，N為AD的中點時，連接EN，猜想：DE與EF的數(shù)量關(guān)系以及NE與BF的數(shù)量，證明你猜想的兩個關(guān)系；
（2）如圖②，當(dāng)點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD上找一點N，使得NE=BF，并猜想此時DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：DE=EF，NE=BF，欲證明DE=EF，NE=BF，只要證明△DNE≌△EBF即可．
（2）在DA上取一點N使得DN=EB，此時NE=BF，DE=EF，證明類似（1）．

解答 解：（1）結(jié)論：DE=EF，NE=BF
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠FEB+∠AED=90°，∠ED+∠NDE=90°，
∴∠FEB=∠NDE，
∵AN=ND，AE=EB，
∴AN=AE=DN=EB，
∴∠ANE=45°，∠DNE=135°，
∵FB平分∠MBC，
∴∠MBF=∠CBF=45°，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
在△DNE和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠BEF}\\{DN=EB}\\{∠DNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF，NE=BF
（2）在DA上取一點N使得DN=EB，此時NE=BF，DE=EF，
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∵∠DEF=90°，
∴∠FEB+∠AED=90°，∠ED+∠NDE=90°，
∴∠FEB=∠NDE，
∵DN=EB，AD=AB
∴AN=AE，
∴∠ANE=45°，∠DNE=135°，
∵FB平分∠MBC，
∴∠MBF=∠CBF=45°，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=135°，
∴∠DNE=∠EBF
在△DNE和△EBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠BEF}\\{DN=EB}\\{∠DNE=∠EBF}\end{array}\right.$，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF，NE=BF．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形，添加輔助線創(chuàng)造全等條件，屬于中考�？碱}型．