Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．

（1）請利用這個(gè)圖形證明勾股定理；

（2）請利用這個(gè)圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號成立的條件；

（3）請根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的長方形，其周長為8，求當(dāng)x，y取何值時(shí)，該長方形的面積最大？最大面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x＝y=2時(shí)，長方形的面積最大，最大面積是4．

【解析】

1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式．
（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可．
（3）利用（2）中的結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時(shí)，該矩形面積最大以及其最大面積．

解：（1）因?yàn)檫呴L為c的正方形面積為c2，

它也可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長為（a– b）的小正方形組成的，

它的面積為4×ab＋(a– b)2＝a2＋b2，

所以c2＝a2＋b2．

（2）∵(a– b)2≥0，

∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab，

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號成立．

（3）依題意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，長方形的面積為xy，

由（2）的結(jié)論知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，

∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，

當(dāng)且僅當(dāng)x＝y=2時(shí)，長方形的面積最大，最大面積是4．