Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知直線l₁:y=x與直線l₂：y=－x+6相交于點(diǎn)M，直線l₂與x軸相較于點(diǎn)N.

求M，N的坐標(biāo)；

在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)

單位長度的速度移動(dòng).設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S.移動(dòng)的時(shí)間為t（從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)結(jié)束）。直接寫出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要給出解答過程）；

在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）解得�！郙的坐標(biāo)為（4，2）。

                 在y=－x+6中令y=0得x=6，∴N的坐標(biāo)為（6，0）。

            （2）S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式為：

 

            （3）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，S的最大值為，此時(shí)t=1。

                 當(dāng)1＜t≤4時(shí)，S的最大值為，此時(shí)t=4。

                 當(dāng)4＜t≤5時(shí)，∵，

∴S的最大值為，此時(shí)t=。

                 當(dāng)5＜t≤6時(shí)，S隨t的增大而減小，最大值不超過。

                 當(dāng)6＜t≤7時(shí)，S隨t的增大而減小，最大值不超過。

                 綜上所述，當(dāng)t=時(shí)，S的值最大，最大值為。

【解析】一次函數(shù)綜合題，平移問題，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，一次函數(shù)和二次函數(shù)的最值。

【分析】（1）聯(lián)立兩直線方程即可求得M的坐標(biāo)，在y=－x+6中令y=0即可求得N的坐標(biāo)。

（2）先求各關(guān)鍵位置，自變量t的情況：

起始位置時(shí)，t=0；當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，如圖1，t=1；當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖2，t=4；當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)M重合時(shí)，如圖3，t=5；當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)N重合時(shí)，如圖4，t=6；結(jié)束位置時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)N重合，t=7。

 

 

①當(dāng)0≤t≤1時(shí)，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一三角形面積（不含t=0），三角形的底為t，高為，∴。

②當(dāng)1＜t≤4時(shí)，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一梯形面積，梯形的上底為，下底為，高為1�！�。

③當(dāng)4＜t≤5時(shí)，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為兩梯形面積的和，第一個(gè)梯形的上底為，下底為2，高為；第二個(gè)梯形的上底為－t +6，下底為2，高為。

∴。

④當(dāng)5＜t≤6時(shí)，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一梯形面積，梯形的上底為

6－t ，下底為7－t，高為1�！�。

⑤當(dāng)6＜t≤7時(shí)，矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為一三角形面積（不含t=7），三角形的底為7－t，高為7－t，∴。

（3）分別討論各分段函數(shù)的最大值而得所求。