Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$且經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為點B．
（1）求拋物線解析式．
（2）拋物線上是否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A、C點坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱，可得B點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得M點坐標(biāo)．

解答 解：（1）當(dāng)x=0時，y=2，即C（0，2），
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{2}$x+2=0，解得x=-4，即A（-4，1）．
由A、B關(guān)于對稱軸對稱，得
B（1，0）．
將A、B、C點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；
（2）拋物線上是存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，
如圖，
設(shè)M（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），N（m，0）．
AN=m+4，MN=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2．
由勾股定理，得AC=$\sqrt{A{O}^{2}+O{C}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
當(dāng)△ANM∽△ACB時，$\frac{AN}{AC}$=$\frac{NM}{BC}$，即$\frac{m+4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m+2}{\sqrt{5}}$，
解得m=0（不符合題意，舍），m=-4（不符合題意，舍）；
當(dāng)△ANM∽△BCA時，$\frac{AN}{BC}$=$\frac{NM}{AC}$，即$\frac{m+4}{\sqrt{5}}$=$\frac{-\frac{1}{2}{m}^{2}-\frac{3}{2}m+2}{2\sqrt{5}}$，
解得m=-3，m=-4（不符合題意，舍），
當(dāng)m=-3時，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2=2，
即M（-3，2）．
綜上所述：拋物線存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似，點M的坐標(biāo)（-3，2）．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用函數(shù)值相等的兩點關(guān)于對稱軸對稱得出B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．