Question

某工廠有100名工人在A型生產(chǎn)線上工作．經(jīng)工廠多方考察，發(fā)現(xiàn)其生產(chǎn)受到限制，于是決定引入B型生產(chǎn)線．B型生產(chǎn)線上每人每日生產(chǎn)量比A型生產(chǎn)線多30件．一工人在B型生產(chǎn)線上生產(chǎn)100件產(chǎn)品的時間與原來在A型生產(chǎn)線上生產(chǎn)40件產(chǎn)品的時間相同．
（1）A型生產(chǎn)線上每人每日可生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？
（2）工廠決定從這100名工人中分派一部分工人到B型生產(chǎn)線工作．分工后，繼續(xù)在A型生產(chǎn)線上工作的工人的日均產(chǎn)量可增加25%，若要保證工廠分工后，A型生產(chǎn)線每日的總產(chǎn)量不少于分工前的每日總產(chǎn)量，而B型生產(chǎn)線每日的總產(chǎn)量不低于分工前A型生產(chǎn)線每日總產(chǎn)量的40%，則有多少種分派方案？（不寫出具體方案）
（3）設(shè)工廠每日的總產(chǎn)量為P，在（2）題條件下，當(dāng)多少人分派到B型生產(chǎn)線時，P有最大值？請寫出此時的分派方案，并求出P的最大值．

Answer 1

解：
（1）設(shè)A型生產(chǎn)線上每人每日可生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則B型生產(chǎn)線上每人每日生產(chǎn)（x+30）件．由題意列方程得：
=
解得：x=20，經(jīng)檢驗知20是原方程的根，
答：A型生產(chǎn)線上每人每日可生產(chǎn)20件產(chǎn)品；

（2）設(shè)分派y人到B型生產(chǎn)線工作，則留在A型生產(chǎn)線上工作的工人為（100-y）人，由題意列出不等式組得：
，
解得：16≤y≤20，且y為整數(shù)，
∴y可取值為16；17；18；19；20；
∴有5種分派方案；

（3）設(shè)分派y人到B型生產(chǎn)線工作，則留在A型生產(chǎn)線上工作的工人為（100-y）人，其各自生產(chǎn)的數(shù)量為20（100-y）（1+25%）和50y，
∴P=20（100-y）（1+25%）+50y，
=25y+2500，
∵25＞0，
∴P隨y的增加而增加，
∴當(dāng)y=20時，P取得最大值為25×20+2500=3000（件），
∴此時的分配方案為20人在B型生產(chǎn)線工作，80人在A型生產(chǎn)線上工作．
答：當(dāng)20人分派到B型生產(chǎn)線時，P有最大值3000件，此時的分配方案為20人在B型生產(chǎn)線工作，80人在A型生產(chǎn)線上工作．
分析：（1）設(shè)出A型生產(chǎn)線上每人每日可生產(chǎn)x件產(chǎn)品，則B型生產(chǎn)線上每人每日生產(chǎn)量為（x+30）件．又因為一工人在B型生產(chǎn)線上生產(chǎn)100件產(chǎn)品的時間與原來在A型生產(chǎn)線上生產(chǎn)40件產(chǎn)品的時間相同，所以可得關(guān)于x的分式方程，進而求出x；
（2）可設(shè)分派y人到B型生產(chǎn)線工作，則留在A型生產(chǎn)線上工作的工人為（100-y）人，再由題意列出不等式組，解出不等式組的正整數(shù)解，即可得到有多少種分派方案；
（3）由（2）可得到分派y人到B型生產(chǎn)線工作，則留在A型生產(chǎn)線上工作的工人為（100-y）人，并且每個生產(chǎn)線的產(chǎn)量可求出，即P可用含有y的代數(shù)式表示出來，再根據(jù)函數(shù)的增減性求出P有最大值；寫出此時的分派方案即可．
點評：本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的增減性及一元一次不等式組的應(yīng)用，有一定的難度，解答此類題目的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)題意列出表達式，然后再結(jié)合題意討論符合條件的取值．