Question

3．如圖：△ABC為等邊三角形，點D、P為動點，這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度點D由C向A運動，點P由B向C運動，連接AP、BD交于點Q．

（1）若動點D在邊CA上，動點P在邊BC上，兩點運動過程中AP=BD成立嗎？請證明你的結(jié)論．
（2）若動點D、P分別在射線CA和射線BC上運動，如圖（2）所示，兩點運動過程中∠BQP的大小保持不變，請你利用圖（2）的情形，求證：∠BQP=60°．
（3）若將原題中的“點P由B向C運動，連接AP、BD交于點Q”改為“點P在AB的延長線上運動，連接PD交BC于E”，其它條件不變，如圖（3），則動點D、P在運動過程中，DE始終等于PE嗎？寫出證明過程．

Answer 1

分析 （1）由△ABC為等邊三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運動，可得BP=CD，即可利用SAS判定△ABP≌△BCD，繼而證得結(jié)論；
（2）同理可證得△ABP≌△BCD（SAS），則可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先過點D作DG∥AB交BC于點G，則可證得△DCG為等邊三角形，繼而證得△DGE≌△PBE（AAS），則可證得結(jié)論．

解答 解：（1）AP=BD．
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根據(jù)題意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠C}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；

（2）根據(jù)題意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABP=∠BCP}\\{BP=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°；

（3）DE=PE．
理由：過點D作DG∥AB交BC于點G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG為等邊三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEG=∠PEB}\\{∠GDE=∠BPE}\\{DG=PB}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．

點評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，