Question

如圖，將邊長都為2

2

cm的正方形按如圖所示擺放，點A₁、A₂、…、A_n分別是正方形的中心，則2014個這樣的正方形重疊部分的面積和為

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：標(biāo)注字母，過點A₁作A₁D、A₁E與正方形的邊垂直，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得A₁D=A₁E，再求出∠BA₁D=∠CA₁E，然后利用“角邊角”證明△A₁BD和△A₁CE全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得陰影部分的面積等于正方形面積的

1

4

，再根據(jù)重疊部分的個數(shù)比正方形的個數(shù)少1進行計算即可得解．

解答：解：如圖，過點A₁作A₁D、A₁E與正方形的邊垂直，
∵A₁是正方形的中心，
∴A₁D=A₁E，A₁D⊥A₁E，
∵∠BA₁D+∠BA₁E=∠CA₁E+∠BA₁E，
∴∠BA₁D=∠CA₁E，
在△A₁BD和△A₁CE中，

∠BA1D=∠CA1E A1D=A1E ∠A1DB=∠A1EC=90°

，
∴△A₁BD≌△A₁CE（SAS），
∴陰影部分的面積=正方形面積的

1

4

=

1

4

×（2

2

）²=2，
∴2014個這樣的正方形重疊部分的面積和=2×（2014-1）=4026．
故答案為：4026．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形并求出陰影部分的面積等于正方形面積的

1

4

是解題的關(guān)鍵，要注意陰影部分的個數(shù)比正方形的個數(shù)少1．