Question

（2009•襄陽）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90度．將Rt△ABC繞點C順時針方向旋轉60°得到△DEC，點E在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉180°得到△ABF．連接AD．
（1）求證：四邊形AFCD是菱形；
（2）連接BE并延長交AD于G，連接CG，請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形，為什么？

Answer 1

【答案】分析：（1）需證明△ACD是等邊三角形、△AFC是等邊三角形，即可證明四邊形AFCD是菱形．（2）可先證四邊形ABCG是平行四邊形，再由∠ABC=90°，可證四邊形ABCG是矩形．
解答：（1）證明：Rt△DEC是由Rt△ABC繞C點旋轉60°得到，
∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60°，
∴△ACD是等邊三角形，
∴AD=DC=AC，（1分）
又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直線翻轉180°得到，
∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90°，
∵∠ACB=∠ACD=60°，
∴△AFC是等邊三角形，
∴AF=FC=AC，（3分）
∴AD=DC=FC=AF，
∴四邊形AFCD是菱形．（4分）

（2）四邊形ABCG是矩形．（5分）
證明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等邊三角形，△ACB≌△AFB，
∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC為直角三角形，
∴BC=AC，
∵EC=CB，
∴EC=AC，
∴E為AC中點，
∴DE⊥AC，
∴AE=EC，（6分）
∵AG∥BC，
∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，
∴△AEG≌△CEB，
∴AG=BC，（7分）
∴四邊形ABCG是平行四邊形，
∵∠ABC=90°，（8分）
∴四邊形ABCG是矩形．
點評：此題主要考查菱形和矩形的判定，綜合應用等邊三角形的判定、全等三角形的判定等知識是解題的關鍵．