Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=x+1的圖象上，陰影圖形的面積從左向右依次記為S₁，S₂，S₃…S_n，則S_n的值為（　�。�

• A． S_n=3×2²ⁿ⁺¹
• B． S_n=3×2²ⁿ⁺³
• C． S_n=3×2^2n-3
• D． S_n=3×2²ⁿ

Answer 1

分析 根據(jù)直線解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出正方形的邊長并得到變化規(guī)律表示出第n個(gè)和第n+1個(gè)正方形的邊長，然后根據(jù)陰影部分的面積等于兩個(gè)等腰直角三角形的面積再減去一個(gè)鈍角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可．

解答 解：∵函數(shù)y=x與x軸的夾角為45°，
∴直線y=x+1與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，
∴A₁（0，1），A₂（1，2），A₃（3，4），
∴第1個(gè)正方形的邊長為1，
第2個(gè)正方形的邊長為2，
第3個(gè)正方形的邊長為4，
第4個(gè)正方形的邊長為8，
…，
第n個(gè)正方形的邊長為2^n-1，
由圖可知，S₁=$\frac{1}{2}$×1×1+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{3}{2}$，
S₂=$\frac{1}{2}$×4×4+$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×4×2=6，
…，
第n個(gè)正方形的邊長為2^n-1，第n+1個(gè)正方形的邊長為2ⁿ，
S_n=$\frac{1}{2}$•2^n-1•2^n-1+$\frac{1}{2}$•2ⁿ•2ⁿ-$\frac{1}{2}$•2•2^n-1=3×2^2n-3．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形的面積，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于求出陰影S_n所在的正方形和正方形的邊長．