Question

13．如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條直線上，點(diǎn)P在以BC為直徑的⊙O上，連結(jié)PA、PB、PC，AB=BP=$\frac{1}{2}BC$．
（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的直徑是4cm，求PC的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接OP，進(jìn)而得出AB=BP=BO，進(jìn)而得出∠BPA+∠BPO=90°，即可得出答案；
（2）利用已知首先求出BP的長(zhǎng)，再利用勾股定理得出PC的長(zhǎng)即可．

解答 解：（1）如圖所示：連接OP，
∵AB=BP=$\frac{1}{2}$BC，BC為直徑，
∴AB=BP=BO，
∴∠BAP=∠BPA，∠BPO=∠BOP，
∴∠BAP+∠BPA+∠BPO+∠BOP=180°，
∴∠BPA+∠BPO=90°，
∵點(diǎn)P在⊙O上，
∴AP是⊙O的切線；

（2）∵BC為直徑，
∴BC=4cm，∠BPC=90°，
∵BP=$\frac{1}{2}$BC，
∴BP=2，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：
PC=$\sqrt{P{C}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴PC的長(zhǎng)度為2$\sqrt{3}$cm．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定以及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，正確得出∠BPA+∠BPO=90°是解題關(guān)鍵．