Question

已知：如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心，OA長為半徑作⊙O，⊙O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K．過D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H．
（1）求證：AE=CK；
（2）如果AB=a，AD=

1

3

a（a為大于零的常數(shù)），求BK的長：
（3）若F是EG的中點，且DE=6，求⊙O的半徑和GH的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，求證△BKC≌△ADE即可；
（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形的面積公式得出

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BK，代入即可求得BK．
（3）根據(jù)三角形中位線定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求證AE=

1

3

AC，然后即可求得AC即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCK，
∵BK⊥AC，DH∥KB，
∴∠BKC=∠AED=90°，
∴△BKC≌△ADE，
∴AE=CK；

（2）解：∵AB=a，AD=

1

3

a=BC，
∴AC=

AB2+BC2

=

a2+( 1 3 a)2

=

a

3

10

∵BK⊥AC，∠ABC=90°，
∴在Rt△ABC中，由三角形的面積公式得：

1

2

AB×BC=

1

2

AC×BK，
∴a×

1

3

a=

10

3

a×BK，
∴BK=

10

10

a．

（3）解：DG是圓的弦，又有AE⊥GD得GE=ED，
∵DE=6，
∴GE=6，
又∵F為EG中點，
∴EF=

1

2

EG=3，
∵△BKC≌△DEA，
∴BK=DE=6，
∴EF=

1

2

BK，且EF∥BK，
∴△AEF∽△AKB，且相似比為1：2，
∴EF為△ABK的中位線，
∴AF=BF，
又∵∠ADF=∠H，∠DAF=∠HBF=90°，
∴△AFD≌△BFH（AAS），
∴HF=DF=3+6=9，
∴GH=6，
∵DH∥KB，BK⊥AC，四邊形ABCD為矩形，
∴∠AEF=∠DEA=90°，
∴∠FAE+∠DAE=∠FAE+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠DAE，
∴△AEF∽△DEA，
∴AE：ED=EF：AE，
∴AE²=EF•ED=3×6=18，
∴AE=3

2

，
∵△AED∽△HEC，
∴

AE

EC

=

ED

HE

=

1

2

，
∴AE=

1

3

AC，
∴AC=9

2

，
則AO=

9 2

2

，
故⊙O的半徑是

9 2

2

，GH的長是6．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，垂徑定理等知識點，綜合性很強，利用學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識，是一道很典型的題目．