Question

已知（a+

1

b

）²-2（a+

1

b

）-3=0，且a＞0，b＞0．求證：

b

ab+1

=

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：換元法解一元二次方程

專題：證明題

分析：先設(shè)x=a+

1

b

，則原方程變形為x²-2x-3=0，運(yùn)用因式分解法解得x₁=-1，x₂=3，再把x=-1和3分別代入x=a+

1

b

得到a+

1

b

=-1和a+

1

b

=3，根據(jù)題意即可證得結(jié)論；

解答：解：設(shè)x=a+

1

b

，
原式變形為x²-2x-3=0，
（x+1）（x-3）=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
當(dāng)x=-1時(shí)，a+

1

b

=-1，
因?yàn)閍＞0，b＞0．所以a+

1

b

=-1不成立，
當(dāng)x=3時(shí)，a+

1

b

=3，
所以a+

1

b

=

ab+1

b

=3，
所以

b

ab+1

=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了換元法解一元二次方程：我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過(guò)換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．