【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A(﹣1,0)、B(4,0),拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)過點A,B,頂點為C,點P(m,n)(n<0)為拋物線上一點.

(1)求拋物線的解析式和頂點C的坐標(biāo);

(2)當(dāng)∠APB為鈍角時,求m的取值范圍;

(3)若m>,當(dāng)∠APB為直角時,將該拋物線向左或向右平移t(0<t<個單位,點C、P平移后對應(yīng)的點分別記為C′、P′,是否存在t,使得首位依次連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短?若存在,求t的值并說明拋物線平移的方向;若不存在,請說明理由.

【答案】(1) 拋物線的解析式為:y=x2x﹣2;C( ,﹣ ).(2) ﹣1<m<03<m<4;(3)

【解析】分析:(1)待定系數(shù)法求解析式即可,求得解析式后轉(zhuǎn)換成頂點式即可.

(2)因為AB為直徑,所以當(dāng)拋物線上的點P在⊙C的內(nèi)部時,滿足∠APB為鈍角,所以-1<m<0,或3<m<4.

(3)左右平移時,使A′D+DB″最短即可,那么作出點C′關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為C″,得到直線P″C″的解析式,然后把A點的坐標(biāo)代入即可.

詳解:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2(a≠0)過點A,B,

,

解得:,

∴拋物線的解析式為:y=x2x﹣2;

y=x2x﹣2=(x﹣2,

C(,﹣).

(2)如圖1,以AB為直徑作圓M,則拋物線在圓內(nèi)的部分,能使∠APB為鈍角,

M(,0),M的半徑=

P′是拋物線與y軸的交點,

OP′=2,

MP′=

P′在⊙M上,

P′的對稱點(3,﹣2),

∴當(dāng)﹣1<m<03<m<4時,∠APB為鈍角.

(3)存在;

拋物線向左或向右平移,因為AB、P′C′是定值,所以A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短,只要AC′+BP′最小;

第一種情況:拋物線向右平移,AC′+BP′>AC+BP,

第二種情況:向左平移,如圖2所示,由(2)可知P(3,﹣2),

又∵C(,﹣

C'(﹣t,﹣),P'(3﹣t,﹣2),

AB=5,

P″(﹣2﹣t,﹣2),

要使AC′+BP′最短,只要AC′+AP″最短即可,

C′關(guān)于x軸的對稱點C″(﹣t,),

設(shè)直線P″C″的解析式為:y=kx+b,

,

解得

∴直線y=

當(dāng)P″、A、C″在一條直線上時,周長最小,

=0

t=

故將拋物線向左平移個單位連接A、B、P′、C′所構(gòu)成的多邊形的周長最短.

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證明:∵∠1=∠2(已知)∠1=∠3_______

∴∠2=∠3(等量代換)

BD____________

∴∠4____________

又∵∠A=∠F(已知)

AC____________

∴∠4____________

∴∠C=∠D(等量代換)

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