Question

如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．

（1）求證：△ADE∽△BCE；

（2）如果AD²=AE•AC，求證：CD=CB．

 

Answer 1

【答案】

證明：

 

 

（1）∵∠A與∠B都是弧所對的圓周角， ∴∠A=∠B，

      又∵∠AED =∠BEC，∴△ADE∽△BCE。

（2）∵AD²=AE•AC，∴。

又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。

又∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC=90°�！唷螦ED=90°。

∴直徑AC⊥BD，∴CD=CB。

【解析】圓周角定理，對頂角的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線上點的性質(zhì)。

（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE。

（2）由AD²=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，可求得AC⊥BD，由線段垂直平分線上的點到線段兩端距離相等的性質(zhì)可證得CD=CB。