Question

6．如圖，在△ABC中，∠ABC=120°，⊙O是△ABC的外接圓，點P是$\widehat{AmC}$上的一個動點．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）若⊙O的半徑為2，設(shè)點P到直線AC的距離為x，圖中陰影部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠P的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論；
（2）過點O作OH⊥AC于H，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出AH及OH的長，進而得出AC的長，用x表示出△APC的面積，再根據(jù)y=S_扇形AOC-S_△AOC+S_△APC即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵∠ABC=120°，四邊形ABCP是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠P=180°-120°=60°，
∴∠AOC=2∠APC=120°；

（2）過點O作OH⊥AC于H，
∵∠AOC=120°，OC=OA=2，
∴∠OAC=30°，
∴AH=OA•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，OH=$\frac{1}{2}$OA=1，
∴AC=2AH=2$\sqrt{3}$，
∴S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•x=$\sqrt{3}$x，
∴y=S_扇形AOC-S_△AOC+S_△APC=$\frac{120π×{2}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1+$\sqrt{3}$x=$\frac{4π}{3}$-$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$x（0≤x≤3）．

點評 本題考查的是扇形面積的計算，涉及到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及扇形的面積公式等知識，難度適中．