Question

14．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動．將邊長為2的正方形ABCD與邊長為3的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．
（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由．
（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時△ADG的面積．
（3）如圖3，若小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，順次連接BD、DE、EG、GB，請你直接寫出四邊形BDEG面積的最大值$\frac{25}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用正方形得到條件，判斷出△ADG≌△ABE從而∠AEB+∠ADG=90°，即可；
（2）利用正方形的性質(zhì)在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2從而得出AM=$DM=\sqrt{2}$，在Rt△AMG中，AM²+GM²=AG²從而得出GM=$\sqrt{7}$即可；  
（3）利用旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，在Rt△AIB中，BI=ABsinα，在Rt△AHD中，DH=ADsinα，從而S_{四邊形BDEG}用sinα，即可．

解答 （1）如圖1，延長EB交DG于點H

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形
∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE
∴△ADG≌△ABE（SAS）      
∴∠AGD=∠AEB
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°
∴∠AEB+∠ADG=90°
∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°
∴∠DHE=90°
∴DG⊥BE．
（2）如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，

∠AMD=∠AMG=90°
∵BD是正方形ABCD的對角
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中，
∵∠MDA=45°，AD=2
∴AM=$DM=\sqrt{2}$
在Rt△AMG中，
∵AM²+GM²=AG²
∴GM=$\sqrt{7}$    
∵DG=DM+GM=$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
∴S_△ADG=$\frac{1}{2}$DG•AM=$\frac{1}{2}$（ $\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$）$\sqrt{2}$=1+$\frac{1}{2}$$\sqrt{14}$  
（3）如圖3，

作DH⊥AE交EA的延長線與H，作BI⊥AG，
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴AB=AD=2，
設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，
∴∠BIG=α，∠HAD=α，
在Rt△AIB中，BI=ABsinα，
在Rt△AHD中，DH=ADsinα，
∵四邊形AEFG是邊長為3的正方形，
∴AG=AE=3，
∴S_{四邊形BDEG}=S_△ABG+S_△ABD+S_△ADE+S_△AEG
=S_△ABD+S_△AEG+S_△ABG+S_△ADE
=$\frac{1}{2}$AB×AD+$\frac{1}{2}$AG×AE+$\frac{1}{2}$×AG×BI+$\frac{1}{2}$AE×DH
=$\frac{1}{2}$AB×AD+$\frac{1}{2}$AG×AE+$\frac{1}{2}$×AG×ABsinα+$\frac{1}{2}$AE×ADsinα
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×3×2sinα+$\frac{1}{2}$×3×2sinα
=$\frac{13}{2}$+6sinα
當(dāng)sinα=1時，S_{四邊形BDEG}最大，S_{四邊形BDEG}最大=$\frac{25}{2}$，
故答案為$\frac{25}{2}$．

點評 本題是四邊形的綜合題，主要考查正方形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)表示四邊形BDEG的面積，本題的難點是旋轉(zhuǎn)角的利用．