分析 (1)利用正方形得到條件,判斷出△ADG≌△ABE從而∠AEB+∠ADG=90°,即可;
(2)利用正方形的性質在Rt△AMD中,∠MDA=45°,AD=2從而得出AM=DM=√2,在Rt△AMG中,AM2+GM2=AG2從而得出GM=√7即可;
(3)利用旋轉,設旋轉角為α,在Rt△AIB中,BI=ABsinα,在Rt△AHD中,DH=ADsinα,從而S四邊形BDEG用sinα,即可.
解答 (1)如圖1,延長EB交DG于點H
∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形
∴AD=AB,∠DAG=∠BAE=90°,AG=AE
∴△ADG≌△ABE(SAS)
∴∠AGD=∠AEB
∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°
∴∠AEB+∠ADG=90°
∵△DEH中,∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°
∴∠DHE=90°
∴DG⊥BE.
(2)如圖2,過點A作AM⊥DG交DG于點M,
∠AMD=∠AMG=90°
∵BD是正方形ABCD的對角
∴∠MDA=45°
在Rt△AMD中,
∵∠MDA=45°,AD=2
∴AM=DM=√2
在Rt△AMG中,
∵AM2+GM2=AG2
∴GM=√7
∵DG=DM+GM=√2+√7
∴S△ADG=12DG•AM=12( √2+√7)√2=1+12√14
(3)如圖3,
作DH⊥AE交EA的延長線與H,作BI⊥AG,
∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形,
∴AB=AD=2,
設旋轉角為α,
∴∠BIG=α,∠HAD=α,
在Rt△AIB中,BI=ABsinα,
在Rt△AHD中,DH=ADsinα,
∵四邊形AEFG是邊長為3的正方形,
∴AG=AE=3,
∴S四邊形BDEG=S△ABG+S△ABD+S△ADE+S△AEG
=S△ABD+S△AEG+S△ABG+S△ADE
=12AB×AD+12AG×AE+12×AG×BI+12AE×DH
=12AB×AD+12AG×AE+12×AG×ABsinα+12AE×ADsinα
=12×2×2+12×3×3+12×3×2sinα+12×3×2sinα
=132+6sinα
當sinα=1時,S四邊形BDEG最大,S四邊形BDEG最大=252,
故答案為252.
點評 本題是四邊形的綜合題,主要考查正方形的性質,解本題的關鍵是利用三角函數表示四邊形BDEG的面積,本題的難點是旋轉角的利用.
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