Question

如圖，已知四邊形ABCD是正方形，E是正方形內(nèi)一點，以BC為斜邊作直角三角形BCE，又以BE為直角邊作等腰直角三角形EBF，且∠EBF=90°，連接AF．
（1）求證：AF=CE；
（2）求證：AF∥EB；
（3）若AB=，，求點E到BC的距離．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∵∠FBE=90°，
∴∠FBA+∠ABE=∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠FBA=∠EBC，
∵在△FBA和△EBC中，
，
∴△FBA≌△EBC（SAS），
∴AF=CE；

（2）由（1）知△FBA≌△EBC，
∴∠FAB=∠ECB，
又∵∠EBC=∠ABE（都是∠EBC的余角），
∴∠FAB=∠ABE，
∴AF∥EB；

（3）∵，
∴設(shè)BE=x，CE=3x，
則 6x²+9x²=（5）²
解得：x=
∴BE=，CE=3
由面積相等得 BE•CE=BC•h，
解得 h=3，
∴點E到BC的距離為 3．
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和已知條件證明△FBA≌△EBC，即可得到AF=CE；
（2）由（1）知△FBA≌△EBC，所以∠FAB=∠ECB，再證明∠FAB=∠ABE，即可證明AF∥EB；
（3）設(shè)BE=x，CE=3x，根據(jù)勾股定理 6x²+9x²=（5）²，解方程求出x的值，再根據(jù)面積定值即可求出點E到BC的距離．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定以及勾股定理的運用，題目的綜合性較強，難度中等．