Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個小方格都是邊長為1個單位的小正方形，點A、B、C都是格點（每個小方格的頂點叫格點），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．
（1）∠A的正弦值是$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）△ABC外接圓的半徑是$\sqrt{5}$；
（3）已知△ABC與△DEF（點D、E、F都是格點）成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)是（3，6）；
（4）請在網(wǎng)格圖中的空白處畫一個格點△A₁B₁C₁，使△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為$\sqrt{2}$：1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦的定義，結(jié)合網(wǎng)格特點解答；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的外接圓的概念解答；
（3）根據(jù)位似變換和位似中心的概念解答；
（4）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，都等于相似比解答．

解答 解：（1）如圖1，由網(wǎng)格特點和勾股定理得，CH=1，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
則sinA=$\frac{HC}{AC}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{10}$；
（2）作AB、BC的垂直平分線交于G，連接AG，
根據(jù)網(wǎng)格特點可知，點G的坐標(biāo)為（2，6），
則AG=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
則△ABC外接圓的半徑是$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$；
（3）如圖2，連接BE、FC，
根據(jù)網(wǎng)格特點，BE與FC交于點M，
點M的坐標(biāo)為（3，6），
根據(jù)位似中心的概念可知，位似中心M的坐標(biāo)是（3，6），
故答案為：（3，6）；
（4）由網(wǎng)格特點可知，AB=2，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{10}$，
∵△A₁B₁C₁∽△ABC，且相似比為$\sqrt{2}$：1
∴A₁B₁=2$\sqrt{2}$，B₁C₁=2，A₁C₁=2$\sqrt{5}$，
所求的△A₁B₁C₁如圖3．

點評 本題考查的是格點正方形、銳角三角函數(shù)的定義、位似變換與位似中心與相似三角形的性質(zhì)，掌握如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應(yīng)點連線相交于一點，對應(yīng)線段互相平行，這兩個圖形是位似圖形是解題的關(guān)鍵．