Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點C在x軸的負半軸上，點A在y軸正半軸上，矩形OABC的面積為8

2

．把矩形OABC沿DE翻折，使點B與點O重合，點C落在第三象限的G點處，作EH⊥x軸于H，過E點的反比例函數(shù)y=

k

x

圖象恰好過DE的中點F．則k=

 

，線段EH的長為：

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì),軸對稱的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：連接BO與ED交于點Q，過點Q作QG⊥x軸，垂足為G，可通過三角形全等證得BO與ED的交點就是ED的中點F，由相似三角形的性質(zhì)可得S_△OGF=

1

4

S_△OCB，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可求出k，從而求出S_△OAE，進而可以得到AB=4AE，即BE=3AE．由軸對稱的性質(zhì)可得OE=BE，從而得到OE=3AE，也就有AO=2

2

AE，根據(jù)△OAE的面積可以求出AE，OA的值．易證四邊形OAEH為矩形，從而得到EH=OA，就可求出EH的值．

解答：解：連接BO與ED交于點Q，過點Q作QG⊥x軸，垂足為G，如圖所示，
∵矩形OABC沿DE翻折，點B與點O重合，
∴BQ=OQ，BE=EO．
∵四邊形OABC是矩形，
∴AB∥CO，∠BCO=∠OAB=90°．
∴∠EBQ=∠DOQ．
在△BEQ和△ODQ中，

∠EBQ=∠DOQ BQ=OQ ∠BQE=∠OQD

．
∴△BEQ≌△ODQ（ASA）．
∴EQ=DQ．
∴點Q是ED的中點．
∵∠QG0=∠BCO=90°，
∴QG∥BC．
∴△OGQ∽△OCB．
∴

S△OGQ

S△OCB

=（

OQ

OB

）²=（

OQ

2OQ

）²=

1

4

．
∴S_△OGQ=

1

4

S_△OCB．
∵S_矩形OABC=8

2

，
∴S_△OCB=S_△OAB=4

2

．
∴S_△OGQ=

2

．
∵點F是ED的中點，
∴點F與點Q重合．
∴S_△OGF=

2

．
∵點F在反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴

. k .

2

=

2

．
∵k＜0，
∴k=-2

2

．
∴S_△OAE=

. k .

2

=

2

．
∵S_△OAB=4

2

，
∴AB=4AE．
∴BE=3AE．
由軸對稱的性質(zhì)可得：OE=BE．
∴OE=3AE．OA=

OE2-AE2

=2

2

AE．
∴S_△OAE=

1

2

AO•AE=

1

2

×2

2

AE×AE=

2

．
∴AE=1．
∴OA=2

2

×1=2

2

．
∵∠EHO=∠HOA=∠OAE=90°，
∴四邊形OAEH是矩形．
∴EH=OA=2

2

．
故答案分別為：-2

2

、2

2

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定的綜合性．