Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線(xiàn)，C為切點(diǎn)，AD⊥CD于點(diǎn)D．求證：
（1）∠AOC=2∠ACD；
（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）由CD是⊙O的切線(xiàn)得到∠OCD=90°，即∠ACD+∠ACO=90°，而利用OC=OA得到∠ACO=∠CAO，然后利用三角形的內(nèi)角和即可證明題目的結(jié)論；
（2）如圖，連接BC．由AB是直徑得到∠ACB=90°，然后利用已知條件可以證明在Rt△ACD∽R(shí)t△ABC 接著利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．
解答：證明：（1）∵CD是⊙O的切線(xiàn)，∴∠OCD=90°，
即∠ACD+∠ACO=90°．①（2分）
∵OC=OA，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠AOC=180°-2∠ACO，即∠AOC+2∠ACO=180°，
兩邊除以2得：∠AOC+∠ACO=90°．②（4分）
由①，②，得：∠ACD-∠AOC=0，即∠AOC=2∠ACD；（5分）

（2）如圖，連接BC．
∵AB是直徑，∴∠ACB=90°．（6分）
在Rt△ACD與Rt△ABC中，
∵∠AOC=2∠B，
∴∠B=∠ACD，
∴Rt△ACD∽R(shí)t△ABC，（8分）
∴，即AC²=AB•AD．（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)性質(zhì)，及相似三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線(xiàn)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線(xiàn)連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．