Question

如圖①，正方形ABCD中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（0，12），（8，6），點(diǎn)C在第一象限．動(dòng)點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上，從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)（1，0）出發(fā)，以相同速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）正方形邊長

 

，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)

 

；
（2）當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（秒）的函數(shù)圖象是如圖②所示的拋物線的一部分，求點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)速度；
（3）求在（2）中當(dāng)t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，并求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（4）如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變，當(dāng)點(diǎn)P沿A?B?C?D勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP與PQ能否相等，若能，直接寫出所有符合條件的t的值．

Answer 1

分析：（1）如圖，在直角三角形BFA中，根據(jù)A、B的坐標(biāo)可知：AF=6，BF=8，因此AB=10，即正方形的邊長為10．易證△ABF≌△BCG，因此CG=BF=8，AF=BG=6，因此CH=14，F(xiàn)G=14，即C點(diǎn)的坐標(biāo)為（14，14）；
（2）根據(jù)圖象可知：當(dāng)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總共用去的時(shí)間為10s，而AB=10，因此P的速度為1，Q與P的速度相同，因此Q的速度也是1；
（3）在三角形OPQ中，OQ=1+t，關(guān)鍵是求出OQ邊上的高，可過P作PM⊥y軸于M，根據(jù)相似三角形APM和ABF可求出AM=

3

5

t，因此OM=12-

3

5

t，根據(jù)三角形的面積公式即可求出S，t的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的t的值；
（4）本題要分四種情況進(jìn)行討論：
①P在AB上，②P在BC上，③P在BC上，④P在AD上．
選兩種情況進(jìn)行說明：
①P在AB上，如圖：在直角三角形APM中，根據(jù)∠APM的余弦值易得出PM=

3t

5

，如果OP=OQ，那么PM=

1

2

OQ，即

3

5

t=

1+t

2

，解得t=1．
③P在CD上，如圖：在直角三角形PCR中，易知：CR=

4

5

CP=

4

5

（t-20），因此PM=RN=14-

4

5

（t-20）=30-

4

5

t，根據(jù)①的解題思路可知：PM=

1

2

OQ，即30-

4

5

t=

1+t

2

，解得t=

295

13

．
其它兩種情況求解方法同①③．

解答：解：（1）10，（14，14）；

（2）由圖象知，點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)間10，路程是10，所以點(diǎn)P，Q速度為1；

（3）作BE⊥x軸于E，BF⊥y軸于F，過P作PM⊥y軸于M，
由△APM∽△ABF易得OM=12-

3

5

t，
S=

1

2

（1+t）（12-

3

5

t）=-

3

10

t²+

57

10

t+6，
所以t=9.5時(shí)S有最大值．
此時(shí)點(diǎn)P（7.6，6.3）；

（4）t=1，t=

295

13

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、三角形相似、圖形面積的求法、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)．