Question

3．如圖，已知一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+b的圖象經(jīng)過點A（2，3），AB⊥x軸，垂足為B，連接OA．
（1）求此一次函數(shù)的解析式，并求出一次函數(shù)與x軸的交點C的坐標；
（2）設(shè)點P為直線y=-$\frac{1}{2}$x+b在第一象限內(nèi)的圖象上的一動點，求△OBP的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的范圍；
（3）設(shè)點M為坐標軸上一點，且S_△MAC=24，直接寫出所有滿足條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）將點A的坐標代入一次函數(shù)的解析式得：-$\frac{1}{2}$×2+b=3，解得b=4，求得一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}x$+4，將y=0代入解得x=8，點C的坐標為（8，0）；
（2）過點P作PD⊥OC，垂足為D．設(shè)點P的坐標為（x，-$\frac{1}{2}x+4$），則DP=$-\frac{1}{2}x+4$，由點A的坐標為（2，3）可知點B的坐標為（2，0），故此OB=2，由三角形的面積公式可知S=$-\frac{1}{2}x+4$；
（3）分為點M在x軸上和y軸上兩種情況畫出圖形，然后再根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于點M坐標的方程求解即可．

解答 解：（1）∵將x=2，y=3代入得：-$\frac{1}{2}$×2+b=3，解得：b=4，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-$\frac{1}{2}x+4$．
∵將y=0代入得：$-\frac{1}{2}x+4$=0，解得x=8．
∴點C的坐標為（8，0）．
（2）如圖1所示：過點P作PD⊥OC，垂足為D．

設(shè)點P的坐標為（x，-$\frac{1}{2}x+4$），則DP=$-\frac{1}{2}x+4$．
∵AB⊥OC，A（2，3），
∴點B（2，0）．
∴OB=2．
∴${S}_{△POB}=\frac{1}{2}OB•PD$=$\frac{1}{2}×2×（-\frac{1}{2}x+4）$=-$\frac{1}{2}x+4$．
∴S=-$\frac{1}{2}x+4$（0＜x＜8）．
（3）如圖2所示：

①當點M在x軸上且位于點C左側(cè)時，設(shè)點M的坐標為（a，0），則MC=8-a．
∵S_△MAC=24，
∴$\frac{1}{2}MC•AB=24$，即$\frac{1}{2}（8-a）×3=24$．
解得：a=-8．
∴點M的坐標為（-8，0）．
②當點M位于點M′處時，設(shè)點M′的坐標為（a，0），則M′C=a-8．
∵S_△MAC=24，
∴$\frac{1}{2}M′C•AB=24$，即$\frac{1}{2}（a-8）×3=24$．
解得：a=24．
∴點M的坐標為（24，0）．
如圖3所示：

∵將x=0代入y=-$\frac{1}{2}x+4$得：y=4．
∴點D的坐標為（0，4）．
③當點M位于點D的下方時，設(shè)點M的坐標為（0，a），則DM=4-a．
∵S_△ACM=S_△MCD-S_△MDA=24，
∴$\frac{1}{2}×（4-a）×8$-$\frac{1}{2}×（4-a）×2$=24．
解得：a=-4．
∴點M的坐標為（0，-4）．
④當點M位于點M′處時，設(shè)點M的坐標為（0，a），則DM=a-4．
∵S_△ACM=S_△MCD-S_△MDA=24，
∴$\frac{1}{2}×（a-4）×8-\frac{1}{2}×（a-4）×2$=24．
解得：a=12．
∴點M的坐標為（0，12）．
綜上所述，點M的坐標為M（-8，0）或M（24，0）或M（0，12）或M（0，-4）．

點評 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、求函數(shù)的關(guān)系式、三角形的面積公式，根據(jù)題意畫出圖形，并根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于a的方程是解題的關(guān)鍵．