Question

13．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B（-1，0），一次函數(shù)y=-x+5的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求△APC的面積；
（3）如果點(diǎn)Q在線段AC上，且△ABC與△AOQ相似，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由一次函數(shù)的解析式求出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)求出b、c即可確定二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后計(jì)算三角形APC的面積；
（3）分兩種情況討論：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=-x+5的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、C兩點(diǎn)，
∴A（5，0），C（0，5），
∵二次函數(shù)y=-x²+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、點(diǎn)B，
∴b=4，c=5，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+4x+5．
（2）∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴P（2，9），
過點(diǎn)P作PD∥y軸交AC于點(diǎn)D，如圖，

則D（2，3），
∴${S}_{△APC}=\frac{1}{2}（{x}_{A}-{x}_{C}）（{y}_{P}-{y}_{D}）$=15；
（3）①若△ABC∽△AOQ，如圖，

此時(shí)，OQ∥BC，
由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得BC的解析式為：y=5x+5，
∴OQ的解析式為：y=5x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=5x}\\{y=-x+5}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{6}}\\{y=\frac{25}{6}}\end{array}\right.$，
∴Q（$\frac{5}{6}$，$\frac{25}{6}$）；
②若△ABC∽△AQO，如圖，

此時(shí)，$\frac{AQ}{AB}=\frac{AO}{AC}$，
∵AB=6，AO=5，AC=$5\sqrt{2}$，
∴AQ=3$\sqrt{2}$，
∴Q（2，3）．
綜上所述，滿足要求的Q點(diǎn)坐標(biāo)為：Q（$\frac{5}{6}$，$\frac{25}{6}$）或Q（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，鉛垂高法求三角形面積、相似三角形的判定與性質(zhì)，難度中等．分類討論思想的應(yīng)用是解答（3）問的關(guān)鍵．