Question

4．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$的圖象交于A（1，4）、B（-4，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求一次函數(shù)的解析式；
（3）點(diǎn)P是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)P并求出它的坐標(biāo)，使∠APB是直角．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，4）代入y=$\frac{k}{x}$即可求出k．
（2）把A（1，4）、B（-4，-1）兩點(diǎn)代入y=kx+b求出k、b即可．
（3）設(shè)P（a，0）根據(jù)PM=$\frac{1}{2}$AB列出方程即可．

解答 解：（1）∵反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）、B（-4，n），
∴m=4，n=-1，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=$\frac{4}{x}$．
（2）∵一次函數(shù)y=kx+b經(jīng)過點(diǎn)A（1，4）、B（-4，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{-4k+b=-1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)為y=x+3．
（3）設(shè)P（a，0），AB點(diǎn)中點(diǎn)M（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），
∵∠APB=90°，
∴PM=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\sqrt{（a+\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$，
整理得到：a²+3a-8=0解得a=$\frac{-3±\sqrt{41}}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{-3+\sqrt{41}}{2}$，0）和（$\frac{-3-\sqrt{41}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，用方程的思想去思考問題．