【題目】如圖,四邊形ABCD和四邊形AEFG均為菱形,且∠EAG=∠ABC

1)如圖1,點(diǎn)G在線段AD上,已知AD5AG3,且cosABC ,連接AF,BF,求BF的長(zhǎng);

2)如圖2,點(diǎn)G在菱形ABCD內(nèi)部,連接BG、DE,若點(diǎn)MDE中點(diǎn),試猜想AMBG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

【答案】1BF=;(2BG2AM,見解析.

【解析】

1)由cosABC得到∠EAG=∠ABC60°,由AF為菱形對(duì)角線得到AF平分∠EAG,求得∠BAF90°.已知ABAD5,所以在RtABF中只要求出AF即能求出BF.又因?yàn)?/span>AF為菱形對(duì)角線且已知菱形邊長(zhǎng)為3,連接另一對(duì)角線EG,根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分且∠FAG30°即能求出BF

2)圖形比較復(fù)雜,關(guān)鍵條件為∠EAG=∠ABC的運(yùn)用.因?yàn)榱庑沃小?/span>ABC與∠BAD互補(bǔ),則∠ABC與∠BAD的補(bǔ)角相等,延長(zhǎng)BA構(gòu)造∠DAH=∠ABC,所以∠EAG=∠DAH,中間加上公共角∠DAG,易得∠EAD=∠GAHEAGA,所以使BA的延長(zhǎng)線AHAD即能構(gòu)造出△ADE≌△AHG.取GH中點(diǎn)P,則AM、AP為全等三角形對(duì)應(yīng)中線,AMAP,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為APBG的數(shù)量關(guān)系.又A、P分別為BH、GH中點(diǎn),根據(jù)中位線定理,BG2AP,得證.

解:(1)連接EG,交AF于點(diǎn)O,(如圖1

∵四邊形AEFG為菱形

EGAF,AF2OA,AF平分∠EAG

cosABC,

∴∠EAG=∠ABC60°

∴∠OAGEAG30°

AG3,∠AOG90°

OGAG

OA

AF2OA

∵菱形ABCD中,∠ABC60°,ADBC,AB5

∴∠BAD180°﹣∠ABC120°,ADAB5

∴∠BAF=∠BAD﹣∠DAF120°﹣30°=90°

BF

2)猜想BG2AM,證明如下:

延長(zhǎng)BAH,使AHAB,連接GH,取GH中點(diǎn)P,連接AP,(如圖2

∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為菱形

ADABAH,AEAG,BCAD

∴∠ABC=∠HAD

∵∠EAG=∠ABC

∴∠EAG=∠HAD

∴∠EAG+∠DAG=∠HAD+∠DAG

即∠EAD=∠GAH

在△ADE與△AHG

,

∴△ADE≌△AHGSAS

MDE中點(diǎn),PGH中點(diǎn),即AMAP為全等三角形對(duì)應(yīng)中線

AMAP

ABH中點(diǎn),

AP為△BGH中位線

BG2AP

BG2AM

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