Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=Rt∠，AB=30cm，AD=40cm，連接BD，且BD=BC．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以4cm/s的速度沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以5cm/s的速度沿DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．連接并延長(zhǎng)PQ交折線D-C-B于點(diǎn)E．設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）線段BC的長(zhǎng)為______cm．
（2）設(shè)△PDQ的面積為S．
①求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
②當(dāng)P在何處時(shí)△PDQ的面積最大，最大值是多少？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PDQ是等腰三角形；
（4）若點(diǎn)P關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)為P′，連接P′E，當(dāng)t=______時(shí)，P′E∥BD（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用勾股定理列式求出BD的長(zhǎng)度，即為BC的長(zhǎng)度；
（2）①過Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出QF的長(zhǎng)度，再根據(jù)三角形的面積公式列式整理即可得解；
②根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）因?yàn)檠�長(zhǎng)沒有明確，所以分①DP=DQ，②QP=QD，③PD=PQ三種情況，分別用含有t的代數(shù)式列式求解即可；
（4）分①點(diǎn)E在CD邊上時(shí)，延長(zhǎng)AD交P′E的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，顯然DQ是△PEF的中位線，根據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行可得DQ∥EF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角的性質(zhì)推出∠FDE=∠DEF，再用t的代數(shù)式表示出DF、EF的長(zhǎng)度，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)列出方程求解即可；②點(diǎn)E在BC上時(shí)，則QR是△PEP′的中位線，可得Q是PE的中點(diǎn)，然后利用“角角邊”
證明△PDQ和△EBQ全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DQ=BQ，然后根據(jù)DQ=BD列出方程求解即可．
解答：解：（1）∵∠A=90°，AB=30cm，AD=40cm，
∴BD===50cm，
∴BC=BD=50cm；

（2）①如圖，過Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，則△ABD∽△FQD，
∴=，
即=，
解得QF=3t，
∴S=PD•QF=（40-4t）•3t=-6t²+60t，
即S═-6t²+60t；
②∵S=-6t²+60t=-6（t-5）²+150，
∴當(dāng)t=5，AP=4×5=20cm，即P為AD的中點(diǎn)時(shí)，S有最大值150cm²；

（3）因?yàn)檠�不明確，所以分三種情況討論，
①當(dāng)DP=DQ時(shí)，即40-4t=5t，解得，t=（s），
②當(dāng)QP=QD時(shí)，過Q作QF⊥AD于點(diǎn)F，則PF=DF，△ABD∽△FQD，
∴=，
即=，
解得DF=4t，
∴（40-4t）=4t，
解得，t=（s），
③當(dāng)PD=PQ時(shí)，cos∠ADB==，
即=，
解得，t=（s），
綜上所述，當(dāng)t=，t=，t=（s）時(shí)，△PDQ為等腰三角形；

（4）①如圖，當(dāng)E在CD上時(shí)，延長(zhǎng)AD交P′E的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，顯然DQ是△PEF的中位線，
∴DQ∥EF，
∴∠1=∠3，
又∵BD=BC，
∴∠1=∠C，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠C，
∴∠2=∠3，
∴EF=DF=PD=40-4t，
由DQ是△PEF的中位線得，DQ=EF，
∴5t=（40-4t），
解得t=（s），
②如圖，當(dāng)E在BC上時(shí)，則QR是△PEP′的中位線，Q是PE的中點(diǎn)，
∴PQ=QE，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△PDQ和△EBQ中，
∵，
∴△PDQ≌△EBQ（AAS），
∴DQ=QB=BD，
即5t=×50，
解得t=5（s），
綜上所述，當(dāng)t=s或5s時(shí)，P′E∥BD．
點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，包括勾股定理，二次函數(shù)的最值問題，等腰三角形的兩腰相等，三角形全等的判定與性質(zhì)，分類討論的思想，本題難度較大，對(duì)同學(xué)們的能力要求較高，一定要注意分情況討論．