如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,CD為∠BCA的外角的平分線,F(xiàn)為上一點(diǎn),BC=AF,延長DF與BA的延長線交于E.
(1)求證:△ABD為等腰三角形.
(2)求證:AC•AF=DF•FE.

【答案】分析:(1)CD為∠BCA的外角的平分線得到∠MCD=∠ACD,求出∠MCD=∠DAB推出∠DBA=∠DAB即可;
(2)由在△CDA與△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,得出△CDA∽△FAE,即可推出CD•EF=AC•AF.
解答:證明:(1)∵四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形,
∴∠DCB+∠DAB=180°,
∵∠MCD+∠DCB=180°,
∴∠MCD=∠DAB,
∵CD為∠BCA的外角的平分線,
∴∠MCD=∠ACD,
∵∠DCA和∠DBA都對(duì)弧AFD,
∴∠DCA=∠DBA,
∴∠DAB=∠DBA,
∴DB=DA,
∴△ABD為等腰三角形.

(2)由(1)知AD=BD,BC=AF,則弧AFD=弧BCD,弧AF=弧BC,
∴∠BDC=∠ADF,弧CD=弧DF,CD=DF,①
∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA,
即∠CDA=∠BDF,
而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180°,
∴∠FAE=∠BDF=∠CDA,
同理∠DCA=∠AFE
∴在△CDA與△FAE中,∠CDA=∠FAE,∠DCA=∠AFE,
∴△CDA∽△FAE,
∴即CD•EF=AC•AF,
又由①有AC•AF=DF•EF命題即證.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查對(duì)圓內(nèi)接四邊形,全等三角形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定,圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握,能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是證此題的關(guān)鍵.
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AD
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16、已知如圖,在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,∠B=30°,則∠D=
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精英家教網(wǎng)如圖:在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=AD,AC=1,∠ACD=60°,則四邊ABCD的面積為( 。
A、1
B、
3
4
C、
3
2
D、
3
3

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