【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn),DF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M,過M作MECD于點(diǎn)E,1=2.

(1)若CE=1,求BC的長;

(2)求證:AM=DF+ME.

【答案】(1)解:四邊形ABCD是菱形,

ABCD,

∴∠1=ACD,

∵∠1=2,

∴∠ACD=2,

MC=MD,

MECD,

CD=2CE,

CE=1,

CD=2,

BC=CD=2;

(2)證明:如圖,F為邊BC的中點(diǎn),

BF=CF=BC,

CF=CE,

在菱形ABCD中,AC平分BCD,

∴∠ACB=ACD,

CEM和CFM中,

,

∴△CEM≌△CFM(SAS),

ME=MF,

延長AB交DF于點(diǎn)G,

ABCD,

∴∠G=2,

∵∠1=2,

∴∠1=G,

AM=MG,

CDF和BGF中,

,

∴△CDF≌△BGF(AAS),

GF=DF,

由圖形可知,GM=GF+MF,

AM=DF+ME.

【解析】(1)根據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得ABD,再根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得1=ACD,所以ACD=2,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CM=DM,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE,然后求出CD的長度,即為菱形的邊長BC的長度;

(2)先利用邊角邊證明CEM和CFM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得ME=MF,延長AB交DF于點(diǎn)G,然后證明1=G,根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AM=GM,再利用角角邊證明CDF和BGF全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得GF=DF,最后結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證.

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