Question

如圖，A為圓O上半圓上的一個(gè)三等分點(diǎn)，B是AM的中點(diǎn)，P為直徑MN上的一動(dòng)點(diǎn)，圓O的半徑為1，
求AP+BP的最小值．

Answer 1

【答案】分析：找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠CAE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．
解答：解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)E，連接AE交MN于點(diǎn)P
此時(shí)PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC，連接CE．
根據(jù)垂徑定理得弧BM=弧ME．
∵A是半圓的三等分點(diǎn)，
∴∠AOM=60°，∠MOE=∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又AC為圓的直徑，∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=AC=，
即AP+BP的最小值是．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，此題的難點(diǎn)是確定點(diǎn)P的位置：找點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和AE于MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置．再根據(jù)弧的度數(shù)和圓心角的度數(shù)求出∠CAE，根據(jù)勾股定理求出AE即可．