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3.如圖所示,在平面直角坐標系中,△AOB為等腰直角三角形,B(8,0).
(1)直接寫出點A的坐標;
(2)在y軸上是否存在點P,使△PAB的周長最小?若存在,請畫出P點的位置;若不存在,說明理由;
(3)如圖1所示,若點C為x軸正半軸上一動點,以AC為直角邊作等腰直角△ACD,∠ACD=90°,D點在第四象限,連接OD,求出∠AOD的度數.

分析 (1)因為△AOB為等腰直角三角形,B(8,0),作AE⊥OB于E,則A點坐標可求;
(2)作點B關于y軸的對稱點B′,連接AB′交y軸于P,則點P即為所求;
(3)作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,求證△DFC≌△CEA,再根據等量變換,即可求出∠AOD的度數可求.

解答 解:(1)如圖1,作AE⊥OB于E,
∵B(8,0),
∴OE=4,
∵△AOB為等腰直角三角形,且AE⊥OB,
∴OE=EA=4,
∴A(4,4);

(2)如圖2所示,

(3)如圖3,作AE⊥OB于E,DF⊥OB于F,
∵△ACD為等腰直角三角形,
∴AC=DC,∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°,
∵∠FDC+∠DCF=90°,
∴∠ACF=∠FDC,
在△DFC和△CEA中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠ACF}\\{∠DFC=∠CEA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△DFC≌△CEA,
∴EC=DF,FC=AE,
∵A(4,4),
∴AE=OE=4,
∴FC=OE,即OF+EF=CE+EF,
∴OF=CE,
∴OF=DF,
∴∠DOF=45°,
∵△AOB為等腰直角三角形,
∴∠AOB=45°,
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°.

點評 此題考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性質和坐標與圖形性質結合求解,綜合性強,難度較大.考查學生綜合運用數學知識的能力.

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