Question

如圖，⊙O的半徑為4

5

，⊙O的兩條弦AB⊥CD于點(diǎn)P，BC中點(diǎn)為F，連接FP并延長交AD于E．
（1）求證：EF⊥AD；
（2）若AB=16，OP=2

13

，求弦CD的長．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,勾股定理,圓周角定理

專題：證明題

分析：（1）由AB⊥CD得∠BPC=∠APD=90°，根據(jù)斜邊上中線性質(zhì)得PF=FB，則∠B=∠FPB，根據(jù)對(duì)頂角相等得∠FPB=∠APE，根據(jù)圓周角定理得∠B=∠D，所以∠APE=∠D，而∠APE+∠DPE=90°，所以∠D+∠DPE=90°，于是得到EF⊥AD；
（2）過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連結(jié)OB、OD，根據(jù)垂徑定理得BM=

1

2

AB=8，DN=

1

2

CD，在Rt△BOM中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出OM=4，在Rt△OPM中，計(jì)算出PM=6，則ON=PM=6，在Rt△OND中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出DN=2

11

，所以CD=2DN=4

11

．

解答：（1）證明：∵AB⊥CD，
∴∠BPC=∠APD=90°，
∵F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，
∴PF=FB，
∴∠B=∠FPB，
而∠FPB=∠APE，∠B=∠D，
∴∠APE=∠D，
而∠APE+∠DPE=90°，
∴∠D+∠DPE=90°，
∴∠PED=90°，
∴EF⊥AD；
（2）解：過O點(diǎn)作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連結(jié)OB、OD，如圖，
∴BM=

1

2

AB=

1

2

×16=8，DN=

1

2

CD，
在Rt△BOM中，OB=4

5

，
∴OM=

OB2-BM2

=4，
在Rt△OPM中，OP=2

13

，
∴PM=

OP2-OM2

=6，
∴ON=PM=6，
在Rt△OND中，OD=4

5

，
∴DN=

OD2-ON2

=2

11

，
∴CD=2DN=4

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�也考查了圓周角定理和勾股定理．