Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線l平行x軸，交y軸于點A，第一象限內(nèi)的點B在l上，連結(jié)OB，動點P滿足∠APQ=90°，PQ交x軸于點C．
（1）當動點P與點B重合時，若點B的坐標是（2，1），求PA的長．
（2）當動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，求PA：PC的值．
（3）當動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值．

Answer 1

考點：相似形綜合題,全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）易得點P的坐標是（2，1），即可得到PA的長．
（2）易證∠AOB=45°，由角平分線的性質(zhì)可得PM=PN，然后通過證明△ANP≌△CMP即可求出PA：PC的值．
（3）可分點P在線段OB的延長線上及其反向延長線上兩種情況進行討論．易證PA：PC=PN：PM，設(shè)OA=x，只需用含x的代數(shù)式表示出PN、PM的長，即可求出PA：PC的值．

解答：解：（1）∵點P與點B重合，點B的坐標是（2，1），
∴點P的坐標是（2，1）．
∴PA的長為2；

（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．

∵點A的縱坐標與點B的橫坐標相等，
∴OA=AB．
∵∠OAB=90°，
∴∠AOB=∠ABO=45°．
∵∠AOC=90°，
∴∠POC=45°．
∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°．
∴∠NPM=90°．
∵∠APC=90°．
∴∠APN=90°-∠APM=∠CPM．
在△ANP和△CMP中，

∠APN=∠CPM PN=PM ∠ANP=∠CMP

，
∴△ANP≌△CMP．
∴PA=PC．
∴PA：PC的值為1：1；

（3）①若點P在線段OB的延長線上，
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，
PM與直線AC的交點為F，如圖2所示．

∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP，
∴△ANP∽△CMP．
∴

PA

PC

=

PN

PM

．
∵∠ACE=∠AEC，
∴AC=AE．
∵AP⊥PC，
∴EP=CP．
∵PM∥y軸，
∴AF=CF，OM=CM．
∴FM=

1

2

OA．
設(shè)OA=x，
∵PF∥OA，
∴△PDF∽△ODA．
∴

PF

OA

=

PD

OD

，
∵PD=2OD，
∴PF=2OA=2x，F(xiàn)M=

1

2

x．
∴PM=

5

2

x．
∵∠APC=90°，AF=CF，
∴AC=2PF=4x．
∵∠AOC=90°，
∴OC=

15

x．
∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°，
∴四邊形PMON是矩形．
∴PN=OM=

15

2

x．
∴PA：PC=PN：PM=

15

2

x：

5

2

x=

15

5

．
②若點P在線段OB的反向延長線上，
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，
PM與直線AC的交點為F，如圖3所示．

同理可得：PM=

3

2

x，CA=2PF=4x，OC=

15

x．
∴PN=OM=

1

2

OC=

15

2

x．
∴PA：PC=PN：PM=

15

2

x：

3

2

x=

15

3

．
綜上所述：PA：PC的值為

15

5

或

15

3

．

點評：本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理、勾股定理等知識，綜合性非常強．