Question

已知A、B、C、D是⊙O上的四點，，AC是四邊形ABCD的對角線
（1）如圖1，連結BD，若∠CDB=60°，求證：AC是∠DAB的平分線；
（2）如圖2，過點D作DE⊥AC，垂足為E，若AC=7，AB=5，求線段AE的長度．

Answer 1

（1）證明：∵，
∴CD=BD，
∵∠CDB=60°，
∴△BCD是等邊三角形，
∴=，
∴∠CAD=∠BAC，即AC是∠DAB的平分線；

（2）解：連接BD，在線段CE上取點F，使得EF=AE，連接DF，
∵DE⊥AC，
∴DF=DA，
∴∠DFE=∠DAE，
∵=，
∴CD=BD，∠DAC=∠DCB，
∴∠DFE=∠DCB，
∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∵∠DFC+∠DFE=180°，
∴∠DFC=∠DAB，
∵在△CDF和△BDA中，

∴△CDF≌△BDA（AAS），
∴CF=AB=5，
∵AC=7，AB=5，
∴AE=AF=（AC-CF）=1．
分析：（1）先根據可知CD=BD，再由∠CDB=60°可得出△BCD是等邊三角形，故=，由圓周角定理即可得出結論；
（2）首先連接BD，在線段CE上取點F，使得EF=AE，連接DF，易證得△CDF≌△BDA，繼而可求得線段AE的長度．
點評：此題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．