Question

如圖，C在射線BM上，在平行四邊形ABCD中，AC=BD=10，tan∠CAD=

3

4

，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)．在射線BM上截取一點(diǎn)E，使OC=CE，連接OE，與邊CD相交于點(diǎn)F．
（1）求CF的長(zhǎng)；
（2）在沒有“OC=CE”的條件下，連接DE、AE，AE與對(duì)角線BD相交于P點(diǎn)，若△ADE為等腰三角形，請(qǐng)求出DP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件求得CD=6，討論當(dāng)E點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，CF的長(zhǎng)，以及當(dāng)E點(diǎn)在邊BC上時(shí)，易證F在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符，
（2）根據(jù)題意分情況進(jìn)行解答，①交于BC的延長(zhǎng)線上，②交于邊BC，即可得出DP的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵ABCD為平行四邊形且AC=BD，
∴ABCD為矩形，
∴∠ACD=90°
在RT△CAD中，tan∠CAD=

CD

AD

=

3

4

，
設(shè)CD=3k，AD=4k，
∴（3k）²+（4k）²=10²，
解得k=2，
∴CD=3k=6，
（Ⅰ）當(dāng)E點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，
過(guò)O作OG⊥BC于G，
∴

OG

CD

=

BO

BD

=

1

2

，
∴OG=3
同理可得：

BG

GC

=

BO

OD

=

1

1

，即BG=GC=4，
又∵OC=CE=

1

2

AC=5，
∴

CF

OG

=

CE

EG

，
∴

CF

3

=

5

5+4

解得CF=

5

3

，
（Ⅱ）當(dāng)E點(diǎn)在邊BC上時(shí)，易證F在CD的延長(zhǎng)線上，與題意不符，舍去．

（2）若△ADE為等腰三角形，
（Ⅰ）AD=ED=8（交于BC的延長(zhǎng)線上），
由勾股定理可得：CE=

DE2-DC2

=

82-62

=2

7

，
∵AD∥BE，
∴

BE

AD

=

BP

PD

=

8+2 7

8

=

4+ 7

4

，
設(shè)PD=4a，則BP=4a+

7

a，
∴BP+PD=BD=10=4a+

7

a+4a，
解得a=

10(8- 7 )

57

，
∴PD=4a=

40(8- 7 )

57

=

320-40 7

57

，
（Ⅱ）AD=ED=8（交于邊BC），
同理可得：

BP

PD

=

BE

AD

=

8-2 7

8

=

4- 7

4

，
∴BP+PD=BD=10=4a-

7

a+4a，
解得a=

10(8+ 7 )

57

，
∴PD=4a=

40(8+ 7 )

57

=

320+40 7

57

，
（Ⅲ）AE=ED，
易證：△AEB≌△DEC，
∴BE=EC=

1

2

BC=4，
∴同理可得：

BP

BD

=

1

3

，則

BP

10

=

1

3

，
∴BP=

10

3

，PD=

20

3

，
（Ⅳ）AE=AD=8，
∴BE=

82-62

=2

7

∴同理可得：

BE

AD

= 

7

4

=

BP

PD

，

4a+ 7 a=10 a= 10(4- 7 ) 9

∴PD=4a=

160-40 7

9

，
∴綜上所述，若△ADE為等腰三角形，PD=

320-40 7

57

或

320+40 7

57

或

20

3

或

160-40 7

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線分線斷成比例，全等三角形的判定，勾股定理以及矩形的判定與性質(zhì)，比較綜合，難度適中．