Question

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，

　 BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；

　 (1) 延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E(如圖2)。j 求證：△BPM@△CPE；k 求證：PM = PN；

　 (2) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變。此時(shí)

　　 PM=PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

　 (3) 若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到與BC邊平行的位置時(shí)，其它條件不變。請(qǐng)直接判斷四邊形MBCN

　　 的形狀及此時(shí)PM=PN還成立嗎？不必說(shuō)明理由。

Answer 1

 (1) 證明：j 如圖2，∵BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，

              ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

              又∵P為BC邊中點(diǎn)，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，

            k ∵△BPM@△CPE，∴PM=PE，∴PM=ME，∴在Rt△MNE中，PN=ME，

              ∴PM=PN；

   (2) 成立，如圖3，

      證明 延長(zhǎng)MP與NC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，∵BM^直線a于點(diǎn)M，CN^直線a于點(diǎn)N，

            ∴ÐBMN=ÐCNM=90°，∴ÐBMN+ÐCNM=180°，∴BM//CN，∴ÐMBP=ÐECP，

            又∵P為BC中點(diǎn)，∴BP=CP，又∵ÐBPM=ÐCPE，∴△BPM@△CPE，∴PM=PE，

            ∴PM=ME，則在Rt△MNE中，PN=ME，∴PM=PN。

   (3) 四邊形MBCN是矩形，PM=PN成立。