【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9.

(1)求證:無論m為何值,該拋物線與x軸總有兩個交點;
(2)該拋物線與x軸交于A,B兩點,點A在點B的左側(cè),且OA<OB,與y軸的交點坐標(biāo)為(0,﹣5),求此拋物線的解析式;
(3)在(2)的條件下,拋物線的對稱軸與x軸的交點為N,若點M是線段AN上的任意一點,過點M作直線MC⊥x軸,交拋物線于點C,記點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為D,點P是線段MC上一點,且滿足MP= MC,連結(jié)CD,PD,作PE⊥PD交x軸于點E,問是否存在這樣的點E,使得PE=PD?若存在,求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)證明:令y=0,則x2﹣2mx+m2﹣9=0,

∵△=(﹣2m)2﹣4m2+36>0,

∴無論m為何值時方程x2﹣2mx+m2﹣9=0總有兩個不相等的實數(shù)根,

∵拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9的開口向上,頂點在x軸的下方,

∴該拋物線與x軸總有兩個交點.


(2)解:∵拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9與y軸交點坐標(biāo)為(0,﹣5),

∴﹣5=m2﹣9.

解得:m=±2.

當(dāng)m=﹣2,y=0時,x2+4x﹣5=0

解得:x1=﹣5,x2=1,

∵拋物線y=x2﹣2mx+m2﹣9與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè),且OA<OB),

∴m=﹣2不符合題意,舍去.

∴m=2.

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x﹣5;


(3)解:如圖2,假設(shè)E點存在,

∵M(jìn)C⊥EM,CD⊥MC,

∴∠EMP=∠PCD=90°.

∴∠MEP+∠MPE=90°

∵PE⊥PD,

∴∠EPD=90°,

∴∠MPE+∠DPC=90°

∴∠MEP=∠CPD.

在△EMP和△PCD中,

∴△EPM≌△PDC(AAS).

∴PM=DC,EM=PC

設(shè)C(x0,y0),則D(4﹣x0,y0),P(x0, y0).

∴2x0﹣4= y0

∵點C在拋物線y=x2﹣4x﹣5上;

∴y0═x02﹣4x0﹣5

∴2x0﹣4= (x02﹣4x0﹣5).

解得:x01=1,x02=11(舍去),

∴P(1,﹣2).

∴PC=6.∴ME=PC=6.

∴E(7,0).


【解析】(1)令y=0,則x2﹣2mx+m2﹣9=0,根據(jù)根的判別式b2﹣4ac=(﹣2m)2﹣4(m2﹣9)=36>0,所以無論m為何值,該拋物線與x軸總有兩個交點.(2)直接將C點(0,﹣5)代入y=x2﹣2mx+m2﹣9根據(jù)拋物線與x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè),且OA<OB),求出m的值即可;(3)假設(shè)E點存在由直角三角形的性質(zhì)可以得出∠MEP=∠CPD.再根據(jù)條件可以得出△EPM≌△PDC就有PM=DC,EM=PC,設(shè)C(x0 , y0),則D(4﹣x0 , y0),P(x0 , y0).根據(jù)PM=DC就有2x0﹣4=﹣ y0 , 由C點在拋物線上有2x0﹣4=﹣ ( x02﹣4x0﹣5),求出x0的值就可以得出結(jié)論.

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