Question

已知：點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，點(diǎn)M、N分別是射線AE、AF上的點(diǎn)，且PM=PN．
（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC的延長線上時(shí)（如圖1），求證：BM=CN；
（2）在（1）的條件下，AM+AN=

2

AC；
（3）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB的延長線上時(shí)（如圖2），若AC：PC=2：1，PC=4，求四邊形ANPM的面積．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE于B，PC⊥AF于C，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得PB=PC，又由PM=PN，利用HL，即可判定Rt△PBM≌Rt△PCN，則可證得結(jié)論；
（2）由角平分線的性質(zhì)易證得AB=AC，又由AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC，即可證得結(jié)論；
（3）由AC：PC=2：1，PC=4，即可求得AC的長，又由S_{四邊形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM=S_△APN+S_△APB+S_△PCN=S_△APC+S_△APB，即可求得四邊形ANPM的面積．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P為∠EAF平分線上一點(diǎn)，PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，∠PBM=∠PCN=90°，
在Rt△PBM和Rt△PCN中，

PM=PN PB=PC

，
∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），
∴BM=CN；

（2）∵∠APB=90°-∠PAB，∠APC=90°-∠PAC，
∴∠APC=∠APB，
∵PB⊥AE，PC⊥AF，
∴PB=PC，
∴AM+AN=AM+CN+AC=AM+BM+AC=AB+AC=2AC；
故答案為：2；

（3）∵AC：PC=2：1，PC=4，
∴AC=8，
∴AB=AC=8，PB=PC=4，
∴S_{四邊形ANPM}=S_△APN+S_△APB+S_△PBM=S_△APN+S_△APB+S_△PCN=S_△APC+S_△APB=

1

2

AC•PC+

1

2

AB•PB=

1

2

×8×4+

1

2

×8×4=32．

點(diǎn)評：此題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．