Question

已知：如圖，等腰△ABC中，底邊BC=12，高AD=6．
（1）在△ABC內(nèi)作矩形EFGH，使F、G在BC上，E、H分別在AB、AC上，且長(zhǎng)是寬的2倍．求矩形EFGH的面積．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，再作第二個(gè)矩形，使其兩個(gè)頂點(diǎn)在EH上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，且長(zhǎng)是寬的2倍．則第二個(gè)矩形的面積為_(kāi)_____；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，再作第三個(gè)矩形，使其兩個(gè)頂點(diǎn)在第二個(gè)矩形的邊上，另外兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，且長(zhǎng)是寬的2倍．則第三個(gè)矩形的面積為_(kāi)_____；
（4）按照這樣的方式做下去，根據(jù)上述計(jì)算猜想第四個(gè)矩形的面積為_(kāi)_____；第n個(gè)矩形的面積為_(kāi)_____．

Answer 1

（1）設(shè)矩形EFGH的寬為x，長(zhǎng)為2x，則由△AEH∽△ABC，
得：，即：，解得：x=3．
∴矩形EFGH的面積為3×6=18．

（2）由（1）得：EH=6，AK=3，
∴第二個(gè)矩形的面積為：；

（3）根據(jù)（1）和（2）的結(jié)論，同理第三個(gè)矩形的面積為：；

（4）根據(jù)（1）（2）（3）所得的結(jié)論可以推出第四個(gè)三角形的面積為：，第n個(gè)三角形的面積為：．
分析：（1）由題意推出△AEH∽△ABC，設(shè)出矩形的長(zhǎng)為2x，然后用x表示出EH、AK，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可推出矩形的邊長(zhǎng)，即可推出矩形的性質(zhì)，（2）求出EH、AK的長(zhǎng)度以后，根據(jù)（1）的論證道理，即可推出第二個(gè)矩形的面積，（3）同理，即可推出第三個(gè)矩形的面積，（4）根據(jù)第一、第二、第三個(gè)矩形面積推理過(guò)程即可推出第四個(gè)矩形的面積，通過(guò)分析總結(jié)，即可得出第n個(gè)矩形的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查矩形的性質(zhì)、形似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證有關(guān)的三角形相似．