Question

已知方程mx²-2（m+3）x+12=0是關于x的一元二次方程．
（1）求證：對任意不為零的實數m，方程總有兩個實根．
（2）若方程的兩根均為整數，且有一根大于2，求滿足條件的整數m的值．

Answer 1

考點：根的判別式

專題：

分析：（1）計算△的表達式，得到完全平方式即可證明；
（2）根據根與系數的關系，列出x₁•x₂=

12

m

，再進行試解．

解答：解：（1）∵△=[-2（m+3）]²-4m•12
=4（m+3）²-48m
=4（m²+6m+9）-48m
=4m²-24m+36
=4（m²-6m）+36
=4（m²-6m+9-9）+36
=4（m-3）²≥0，
∴對任意不為零的實數m，方程總有兩個實根．
（2）設方程兩根為x₁，x₂，
∵x₁•x₂=

12

m

，
∵有一根大于2，
故①令x₂=3，此時，x₁=

4

m

，m值可為±1，±2，±4；
②令x₂=4，此時，x₁=

3

m

，m值可為±1，±2，±3；
③令x₂=6，此時，x₁=

2

m

，m值可為±1，±2；
④令x₂=12，此時，x₁=

1

m

，m值可為±1．
故m值可為±1，±2，±4．

點評：本題考查了根的判別式，要靈活運用，同時要熟悉根與系數的關系．