Question

（2012•深圳二模）如圖，已知等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，點P是線段AB上的點，點Q是線段BC延長線上的點，且AP=CQ，PQ與直線AC相交于點D．作PE⊥AC于點E，則線段DE的長度（　�。�

• A．為4cm
• B．為5cm
• C．為4

  2

  cm
• D．不能確定

Answer 1

分析：過Q作QF⊥AC于F，證△AEP≌△CFQ，推出PE=QF，CF=AE，證△PED∽△QFD，求出DE=DF，推出AC=2DE，根據(jù)勾股定理即可求出DE．

解答：解：過Q作QF⊥AC于F，
∵PE⊥AC，
∴∠F=∠AEP=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ACB=∠QCF=45°，
∵在△AEP和△CFQ中

∠A=∠FCQ AP=CQ ∠AEP=∠F

，
∴△AEP≌△CFQ，
∴PE=QF，CF=AE，
∵PE⊥AC，QF⊥AC，
∴△PED∽△QFD，
∴

DF

DE

=

QF

PE

，
∴DE=DF，
∵CF=AE，
∴AC=AE+DE+DC=AE+DE+DF-CF=2DE，
在△ABC中，由勾股定理得：8²+8²=（2DE）²，
解得：DE=4

2

（cm）．
故選C．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，關鍵是求出AC=2DE，通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力．