Question

5．已知，O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如圖1，若∠AOC=40°，求∠D0E的度數(shù)；
（2）在圖1中，若∠AOC=a，直接寫出∠DOE的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）將圖1中的∠DOC繞頂點O順時針旋轉至圖2的位置．①探究∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關系，寫出你的結論，并說明理由；②在∠AOC的內部有一條射線OF，滿足：2∠AOF+∠BOE=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠AOF），試確定∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關系，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠AOC的度數(shù)可以求得∠BOC的度數(shù)，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度數(shù)，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度數(shù)；
（2）由第（1）問的求法，可以直接寫出∠DOE的度數(shù)；
（3）①首先寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關系，由∠COD是直角，OE平分∠BOC，BOC+∠AOC=180°，可以建立各個角之間的關系，從而可以得到∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關系；
②首先得到∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關系，由2∠AOF+∠BOE=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠AOF），∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC和∠DOE的關系，可以建立各個角之間的關系，從而可以得到∠AOF與∠DOE的度數(shù)之間的關系．

解答 解：（1）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC=40°，
∴∠BOC=180°-∠AOC=140°，∠COE=$\frac{1}{2}∠BOC$，∠COD=90°．
∴∠COE=70°，∠DOE=∠COD-∠COE=90°-70°=20°．
即∠DOE=20°．
（2）∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，∠AOC=a，
∴∠DOE=90°-$\frac{180°-a}{2}$=90°-90°+$\frac{a}{2}$=$\frac{a}{2}$．
即∠DOE=$\frac{a}{2}$．
（3）①∠AOC=2∠DOE．
理由：∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC=2∠COE．
∵∠COD是直角，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠DOE+∠COE=90°，∠AOC+2∠COE=180°．
∴∠AOC+2（90°-∠DOE）=180°．
化簡，得∠AOC=2∠DOE．
②2∠DOE-$\frac{5}{2}∠AOF=90°$．
理由：∵2∠AOF+∠BOE=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠AOF），∠AOC=2∠DOE，
∴2∠AOF+∠BOE=$\frac{1}{2}$∠AOC-$\frac{1}{2}$∠AOF．
即$\frac{5}{2}∠AOF=∠DOE-∠BOE$．
∴$\frac{5}{2}∠AOF=∠DOB$．
∵∠DOB+∠BOC=90°，∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=2∠DOE．
∴$\frac{5}{2}∠AOF+180°-∠AOC=90°$．
∴$\frac{5}{2}∠AOF+180°-2∠DOE=90°$．
化簡，得2∠DOE-$\frac{5}{2}∠AOF=90°$．

點評 本題考查角的計算、角平分線的性質，解題的關鍵是根據(jù)題目中的信息，建立各個角之間的關系，然后找出所求問題需要的條件．