Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點(diǎn)，開口向下的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，且其頂點(diǎn)P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大��；
（2）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）試確定此拋物線的解析式；
（4）在該拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）作CH⊥x軸，H為垂足，
∵CH=1，半徑CB=2，
∵∠BCH=60°，
∴∠ACB=120°．

（2）∵CH=1，半徑CB=2
∴HB=，
故A（1-，0），B（1+，0）．

（3）由圓與拋物線的對稱性可知拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，3）
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）²+3，
把點(diǎn)B（1+，0）代入上式，解得a=-1；
∴y=-x²+2x+2．

（4）假設(shè)存在點(diǎn)D使線段OP與CD互相平分，則四邊形OCPD是平行四邊形
∴PC∥OD且PC=OD．
∵PC∥y軸，
∴點(diǎn)D在y軸上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）滿足y=-x²+2x+2，
∴點(diǎn)D在拋物線上
所以存在D（0，2）使線段OP與CD互相平分．
分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形來求解．過C作CH⊥AB于H，在直角三角形ACH中，根據(jù)半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)即可用三角形函數(shù)求出∠ACB的值．
（2）根據(jù)垂徑定理可得出AH=BH，然后在直角三角形ACH中可求出AH的長，再根據(jù)C點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線和圓的對稱性，即可得出圓心C和P點(diǎn)必在拋物線的對稱軸上，因此可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，3）．然后可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式．根據(jù)A或B的坐標(biāo)即可確定拋物線的解析式．
（4）如果OP、CD互相平分，那么四邊形OCPD是平行四邊形．因此PC平行且相等于OD，那么D點(diǎn)在y軸上，且坐標(biāo)為（0，2）．然后將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可判定出是否存在這樣的點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題是綜合性較強(qiáng)的題型，所給的信息比較多，解決問題所需的知識點(diǎn)也較多，解題時必須抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)．二次函數(shù)和圓的綜合，要求對圓和二次函數(shù)的性質(zhì)在掌握的基礎(chǔ)上靈活討論運(yùn)動變化，對解題技巧和解題能力的要求上升到一個更高的臺階．要求學(xué)生解題具有條理，挖出題中所隱含的條件，會分析問題，找出解決問題的突破口．