Question

如圖：△ACB與△DCE是全等的兩個(gè)直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，AC=4，BC=2，點(diǎn)D、C、B在同一條直線上，點(diǎn)E在邊AC上．
（1）直線DE與AB有怎樣的位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）如圖（1）若△DCE沿著直線DB向右平移多少距離時(shí)，點(diǎn)E恰好落在邊AB上，求平移距離DD′；
（3）在△DCE沿著直線DB向右平移的過程中，使△DCE與△ACB的公共部分是四邊形，設(shè)平移過程中的平移距離為x，這個(gè)四邊形的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域．

Answer 1

分析：（1）延長DE交AB于點(diǎn)G，由三角形的內(nèi)角和能證明DE與AB的關(guān)系，
（2）由三角形相似能夠計(jì)算出平移距離DD′，
（3）當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上前時(shí)，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形，當(dāng)C點(diǎn)與B點(diǎn)重合后向右移時(shí)，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形，y與x的函數(shù)關(guān)系式分為兩部分，利用相似求出CN長度，從而得到AN長度，再得到NM、AM長度，
利用S_△ABC-S_△ANM得出四邊形面積．

解答：解：（1）DE⊥AB，如圖
延長DE交AB于點(diǎn)G，
在△AGE與△DCE中，
∠A=∠D，∠AEG=∠DEC，
∴∠AGE=∠ECD=90°，
∴DE⊥AB．

（2）
作圖如圖，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊AB上，
Rt△D′HF∽R(shí)t△FHB，
∴

HF

D′H

=

HB

HF

，
解得HB=1，
∴DD′=1，

（3）當(dāng)平移過程中的平移距離為0＜x≤1時(shí)，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形MCC′E′，
∴四邊形MCC′E′面積為：

1

2

×CC′×（MC+C′E′）=

1

2

x（2-

x

2

+2）=-

1

4

x²+2x；（0＜x≤1），
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，△DCE與△ACB的公共部分不是四邊形，
當(dāng)2≤x＜4時(shí)，△DCE與△ACB的公共部分是四邊形NCBM，
∵CC'=x，所以D'C=4-x，
∵NC∥E″C″，
∴△D″CN∽△D″C″E″，
∴

D″C

D″C″

=

NC

E″C″

，

4-x

4

=

NC

2

，
∴CN=2-

x

2

，
∴AN=4-（2-

x

2

）=2+

x

2

，
∵△ANM∽△ABC，
∴

AN

AB

=

AM

AC

=

MN

BC

，
∴分別求出AM=

4 5 + 5 x

5

，
NM=

4 5 + 5 x

10

，
∴四邊形NCBM面積為：
S_△ABC-S_△ANM=

1

2

×2×4-

1

2

×

4 5 + 5 x

5

×

4 5 + 5 x

10

，
=-

1

20

x²-

2

5

x+

16

5

，（2≤x＜4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的最值和平移等知識(shí)點(diǎn)．