Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，頂點(diǎn)B，A在x，y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸，y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O）頂點(diǎn)C、D都在第一象限．

（1）如圖1，當(dāng)∠ABO=45°時(shí)，求直線OE的解析式，并說明OE平分∠AOB；
（2）當(dāng)∠ABO≠45°時(shí)（如圖2所示）：OE是否還平分∠AOB仍然成立？若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵邊長(zhǎng)為 的正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)E，

∴AE⊥BE，AE=BE，AB= ，∠ABE=45°，

∴由勾股定理得：AE2+BE2=AB2，即2AE2= ，

∴AE=BE=1．

∵∠ABO=45°，

∴∠OBE=∠AEB=∠AOB=90°，

∴四邊形AOBE是正方形，

∴OE平分∠AOB，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，1）．

設(shè)直線OE的解析式為：y=kx（k≠0），

則有1=k×1，即k=1，

∴直線OE的解析式為y=x

（2）

解：OE平分∠AOB仍然成立．

證明：過點(diǎn)E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸，垂足分別是點(diǎn)F和點(diǎn)G，則四邊形EFOG是矩形，如圖所示．

∴∠FEG=90°，

∴∠FEA+∠AEG=90°．

又∵∠AEG+∠GEB=90°，

∴∠FEA=∠GEB．

在△FEA和△GEB中， ，

∴△FEA≌△GEB（AAS），

∴FE=GE，

∴矩形EFOG是正方形，

∴OE平分∠AOB．

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合AB= ，∠ABO=45°，可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)以及四邊形AOBE是正方形，從而可得出OE平分∠AOB，再由點(diǎn)E的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線OE的解析式；（2）過點(diǎn)E做EF、EG分別垂直于y軸和x軸，垂足分別是點(diǎn)F和點(diǎn)G，則四邊形EFOG是矩形，根據(jù)邊角關(guān)系可證出△FEA≌△GEB，進(jìn)而得出FE=GE，由此即可得出矩形EFOG是正方形，再根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出OE平分∠AOB．